پرسش

سه ظرف داریم كه اولی شامل 3 مهره سیاه و 5سفید و دومی شامل 8 مهره سیاه و 4 سفید و سومی شامل 6 مهره سیاه است از ظرف اول 3مهره به ظرف سوم انتقال و از ظرف سوم4 مهره به ظرف دوم انتقال میدهیم حال 3مهره از ظرف دوم خارج می كنیم احتمال اینكه حداقل یكی از مهره های خروجی سفید باشد چقدر است؟

پاسخ

برای حل این مساله باید از احتمال شرطی استفاده كرد.ابتدا 4 حالت زیر را در نظر بگیرید:
B=سیاه W=سفید
حالت1-اگر 4 مهره انتقالی از جعبه سوم به دوم به شكل روبرو باشد.3 سفید و یك سیاه
حالت2- اگر 4 مهره انتقالی از جعبه سوم به دوم به شكل روبرو باشد.2 سفید و2 سیاه
حالت3- اگر 4 مهره انتقالی از جعبه سوم به دوم به شكل روبرو باشد. 1 سفید و3 سیاه
حالت4- اگر 4 مهره انتقالی از جعبه سوم به دوم به شكل روبرو باشد. 4 سیاه
در جعبه سوم 4 مهره سفید هرگز وجود ندارد و حداكثر 3 سفید خواهد بود.(با احتساب حداكثر مهره انتقالی
به جعبه سوم از جعبه اول)
A=احتمال آنكه مهره های خروجی از جعبه دوم سه سیاه باشد
احتمال سوال مورد نظر متمم احتمال فوق است.
p(A)=p(a|1)p(1)+p(a|2)p(2)+ p(a|3)p(3)+ p(a|4)p(4)
حال احتمال های شرطی خیلی ساده به دست می اید مثلا برای حالت 1 انتخاب 3 مهره سیاه از 9 مهره سیاه تقسیم بر انتخاب 3 از 16 احتمال به شرط حالت 1 است.پس مهم محاسبه احتمال حالات 1 تا 4 است.
برای محاسبه احتمال حالات 1 تا4 باز از احتمال شرطی كمك می گیریم.حال چند حالت را داریم:
-احتمال آنكه سه مهره انتقالی از جعبه اول به سوم3 سفید و0 سیاه باشد.A
-احتمال آنكه سه مهره انتقالی از جعبه اول به سوم2 سفید و1 سیاه باشد.B
-احتمال آنكه سه مهره انتقالی از جعبه اول به سوم1 سفید و2 سیاه باشد.C
-احتمال آنكه سه مهره انتقالی از جعبه اول به سوم0 سفید و3 سیاه باشد.D
حال هر یك از احتمالات 1 تا 4 را می توان بر حسب 4 مورد بالا و به طور شرطی نوشت:
p(1)=p(1|A)p(A)+p(1|B) p(B)+p(1|C) p(C)+p(1|D) p(D)
p(2)=p(2|A) p(A)+p(2|B) p(B)+p(2|C) p(C)+p(2|D) p(D)
p(3)=p(3|A) p(A)+p(3|B) p(B)+p(3|C) p(C)+p(3|D) p(D)
p(4)=p(4|A) p(A)+p(4|B) p(B)+p(4|C) p(C)+p(4|D) p(D)
حال احتمال ها به راحتی قابل محاسبه است.از پایین شروع به محاسبه می كنیم:
p(A)=C(5,3)/C(8,3)=5/28
p(B)=C(5,2)C(3,1)/C(8,3)=15/28
p( C)=C(5,1)C(3,2)/C(8,3)=15/56
p(D)=C(3,3)/C(8,3)=1/56
p(1|A)=C(3,3)C(5,1)/C(8,4)=1/14
p(1|B)=p(1|C)=p(1|D)=0
p(2|A)=3/7 ,p(2|B)=3/14
p(2|D)= p(2|C)=0
p(3|A)=3/7,p(3|B)=4/7,p(3|C)=1/2,p(3|D)=0
p(4|A)=1/14, p(4|B)=3/14, p(4|C)=1/2, p(4|D)=1
از روابط بالا به راحتی مقادیراحتمال حالات 1 تا4 به دست می آید و داریم:
p(a|1)=3/20
p(a|2)=3/16
p(a|3)=33/112
p(a|4)=11/28
و در نتیجه با متمم كردن احتمال كل مسئله حل می گردد.به طور كلی مسئله های این گونه را باید با احتمال شرطی و بررسی حالات حل كرد كه حل آن بسیار راحت می شود.