پرسش

ثابت كنید برای هر عدد طبیعی n عبارت
x^2n-y^2nبر x+y بخش پذیر است؟(باروش استقرا)

پاسخ

برای 1=n مسئله واضح است زیرا x^2-y^2 بر x-y بخشپذیر است.
برای حل مسئله از استقرای قوی استفاده می كنیم فرض می كنیم مسئله برای
k=1...n درست باشد.از فرض استقرا استفاده می كنیم برای n:
x+y|x^2n-y^2n => x +y|(x^2+y^2)(x^2n-y^2n) *1
*
در ضمن داریم :
x^2+y^2 ]×(x^2n+y^2n)=x^(2n+2) –y^(2n+2) +y^2x^2n - x^2y^2n ]

از فرض استقرا برای n-1 استفاده می كنیم:
x+y|x^(2n-2)-y^(2n-2) => x+y|x^2y^2[x^(2n-2)-y^(2n-2)] x+y|x^2ny^2-x^2y^2n *2<=

حال از تفاضل رابطه 1و2 استفاده می كنیم:
x+y|x^(2n+2)-y^(2n+2

وحكم برای k=n+1 ثابت شد.