پرسش

آیا مجموعه های بی پایان همواره هم ارزند؟
برای بررسی بسته بودن یك مجموعه نسبت به یك عمل آیا هر عضو را با خودش هم می توان در نظر گرفت ؟ مثلا ایا مجموعه {1و0و1-} نسبت به عمل جمع بسته است یا خیر ؟
متشكرم
رضایی

پاسخ

خیر
دو مجموعه های بی پایان هم ارزند اگر بتوان یك تناظر یك به یك بین اعضای آن بر قرار كرد .مثلا اعداد حسابی و طبیعی هم ارزند زیرا:
0 1 2 3 4 5 ...
1 2 3 4 5 6 ...
همانطور كه می بینید اعداد فوق تناظر دارند پس دو مجموعه هم ارزند.همینطور اعدادطبیعی و اعداد زوج و....
در مورد بسته بودن:گویند یك مجموعه نسبت به یك عمل بسته است اگر برای هر دو عضو (نه الزاما متمایز) حاصل آن عمل روی این دو عضو نیز در مجموعه باشد.این تعریف تعریف دقیق ریاضی بسته بودن است.
مثلا مجموعه فوق بسته نیست زیرا 1+1=2 و در مجموعه نیست.