پرسش

تابع
f : R --> R
را برای x و y متعلق به اعداد حقیقی چنان تعییین كنید كه داشته باشیم
f(x).f(x+y)+2f(x+2y)+f(2x+y).f(y)=(x^4)+(y^4)+(x^2)+(y+2)

پاسخ

سلام
برای حل مساله، این مراحل را انجام دهید، سعی كنید با ساده سازی و خلاصه سازی، در هر مرحله همه نتایج ممكن را بدست آورید:
1) x و y را صفر قرار دهید، درباره f(0) چه نتایجی بدست می آورید؟ فرض كنید f(0)=a
2) یكبار x و یكبار y را صفر قرار دهید،
3) با تركیب دو رابطه مرحله قبل (در رابطه دوم، پس از ساده سازی، به جای y متغیر x را قرار دهید) رابطه ای بدست آورید كه در آن f(x)^2 حذف شده باشد.
3) با استفاده از رابطه مرحله قبل، f(2x) را بر حسب f(x) بدست آورید .
4) با استفاده از رابطه مرحله قبل و جایگذاری مقدار f(2x) در یكی از دو رابطه مرحله 2، معادله ای درجه 2 بر حسب f(x)، كه ضرایب آن بر حسب x و f(0) هستند بدست آورید.
5) با حل معادله مرحله قبل و بررسی حالتها، تابع را بدست آورید.
موفق باشید