پرسش

با سلام
ثابت كنید عدد زیر صحیح نیست
1+2/1+3/1+...+یك بر n

پاسخ

سلام
قضیه چبیشف چنین می گوید:
اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 3 باشد، آنگاه عددی اول مانند p وجود دارد كه:
n
با توجه به این قضیه، می توان گفت برای هر عدد طبیعی n، عدد اولی مثل p وجود دارد كه pحال در عبارت داده شده، تمام كسر ها را با گرفتن مخرج مشترك با هم جمع می كنیم. براحتی می توان دید كهدر مخرج همه اعداد 1 تا n در هم ضرب شده اند، اما در صورت، حاصلجمع n جمله را داریم كه هر یك، حاصلضرب اعداد 1 تا n بدون حضور یكی از آنها است (هر جمله حاصلضرب n-1 تا از اعداد 1 تا n است) بنا بر این، تمام این جمله ها به جز یكی، عدد اول p را در خود دارند و بر آن بخشپذیر اند. اما مخرج، بر p بخشپذیر است، و لازم است صورت نیز بر p بخشپذیر باشد، تا حاصل عددی صحیح شود. ولی همانطور كه گفته شد، یكی از حاصلضربهای صورت بر p بخشپذیر نیست، و با توجه به اینكه n<2p، هیچ یك از مضارب p نیز در این جمله نیامده اند، و بنا بر این صورت بر p بخشپذیر نیست، كه نتیجتا حاصل كسر عددی صحیح نمی تواند باشد.
موفق باشید