پرسش

تابع
f : R --> R
را برای x و y متعلق به اعداد حقیقی چنان تعییین كنید كه داشته باشیم
f(x).f(x+y)+2f(x+2y)+f(2x+y).f(y)=(x^4)+(y^4)+(x^2)+(y+2)

پاسخ

ابتدا دو تابعع زیر را تعریف می كنیم:
O(X)=f(x)-f(-x)/2 ,E(X)=f(x)+f(-x)/2
فرض كنید f(0)=c كه از معادله فوق برای x=y=0 به دست می آید.
ابتدا جای x- ،y قرار دهید.داریم:
f(x)f(0)+2f(-x)+f(x)f(-x)=2x^4+x^2-x+2
حال در معادله بالا جای x ،x- قرار دهید.داریم:
f(-x)f(0)+2f(x)+f(x)f(-x)=2x^4+x^2+x+2
با كم كردن دو معادله بالا از هم داریم:
4O(x)-2cO(x)=2x == > O(x)=x/2-c
حال دو معادله را با هم جمع می كنیم:
2cE(X)+4E(x)+2f(x)f(-x)=4x^4+2x^2+4
داریم :
f(x)=E(x)+o(X) 1
f(-x)=E(x)-O(x) 2
باجایگذاری داریم:
2E(x)^2+(2c+4)E(x)=4x^4+2x^2+4 +2O(x)^2
چون O(x) 1 را داشتیم از روی آن می توان E(x) 2 را از معادله درجه دو بالا بر حسب x به دست آورد و از آنجا از 1 داریم:
f(x)=E(x)+O(x) 3
اگر در مورد حل بالا سوالی دارید حتما مطرح نمایید.