پرسش

ایا عبارات زیر درست است؟
1)هر دنباله نوسانی كراندار است
2)برای هر دنباله ی از بالا كراندار و صعودی
كوچكترین كران بالا عدد همگرایی دنباله است

پاسخ

(1)
خیر ،مثلا دنباله o (-1)^n*n به وضوح نوسانی است اماكراندار نمی باشد.
(2)بله
فرض كنید دنباله an صعودی با كوچكترین كران بالای L باشد. ثابت می كنیم L حد دنباله است.یعنی برای هر ε وجود دارد M عضو اعداد طبیعی به طوری كه :
o n>M ==> |an-L|<ε
یعنی L-εحال چون L كمترین كران بالا است برای هر ε عضوی از دنباله مانند aN وجود دارد كه
aN>L-ε در غیر اینصورت L-ε نیز یك كران بالای كوچكتر از L برای دنباله می شد كه خلاف كوچكترین كران بالا بودن L بود. حال چون دنباله صعودی است پس برای هر
n>N an>L-ε پس با گرفتن M=N ذنباله به L همگرا می شود.