پرسش

ممنونم از شما كه به سوالات ما جواب می دهید.
1- فرض كنید f تابعی باشد از R به R كه در خاصیت زیر صدق می كند.
(f(x+y)= f(x)+f(y (به ازای هر y و x عضو R)
اگر f ناپیوسته باشد نشان دهید نمودار f در R^2 چگال است .
ـــــــــــــــــــــــــــ
2- اگر G گروهی باشد با دقیقا یك زیر گروه ماكسیمال، ثابت كنید G دوری و از مرتبه
P^k می باشد كه P عددی اول است.
ـــــــــــــــــــــــــــ
3- با میله های (عدد ان,....1,2) متری چند مثلث می توان ساخت (در مثلث ها هیچ دو ضلعی مساوی نیستند.)

پاسخ

با سلام
لطفا سوال های خود را جداگانه مطرح نمایید چون سریعتر جواب داده می شود!!
سوال اول:
ابتدا چگال بودن را تعریف می كنیم. می گوییم مجموعه A روی R چگال است اگر در هر همسایگی هر نقطه دلخواه R نقطه ای از A موجود باشد.
لم:اعداد گویا روی اعداد حقیقی چگال هستند.
تابع كوشی ناپیوسته چگال است.اما علت آن .
از رابطه تعریف تابع كوشی داریم:
f(x+y)=f(x)+f(y) ==> nЄN f(nx)=nf(x),f(x)=f(nx)/n
(1)پس برای k عضو اعداد گویا داریم :f(kx)=kf(x) o
(2)پس برای x عضو اعداد گویا داریم: f(x)=xf(1) o
مجموعه نقاط تابع در صفحه مختصات كه طول آنها گویا است روی خط ax=y=f(1)x قرار دارد.چون مجموعه اعداد گویا روی مجموعه اعداد حقیقی چگال است پس برای هر نقطه روی این خط تابع چگال است

چون تابع ناپیوسته است پس عدد گنگی مثل qوجود دارد كه :f(q)≠qf(1)o.در غیر اینصورت برای هر عدد گنگ f(q)=qf(1)o وچون برای هر عدد گویا نیز این برقرار بود.پس برای هر x :f(x)=xf(1) o می شد كه تابع پیوسته می شد.حال از رابطه1 داریم : f(kq)=kf(q) o.پس نقط با مضارب گویای q روی خط گذرا از مبدا y=f(q)x=bx قرار دارد كه با خط y=ax موازی نیست.تابع روی این خط نیز چگال است زیرا
نقاط آن در تناظر یك به یك با اعداد گویا قرار دارند.
در كل اگر روی یك خط گذرا از مبدا نقطه ای از تابع موجود باشد (p,f(p)) چون تمام ضرایب گویای آن روی همان خط قرار می گیرد تابع روی آن خط چگال خواهد بود.
برای چگال بودن تابع در صفحه كافیست نشان دهیم برای تمام خطوط گذرا از مبدا ، تابع چگال است پس روی صفحه چگال خواهد بود.در حقیقت باید نشان داد برای هر خط گذرا از مبدا یا می توان با یك خط كه نقطه ای از تابع روی آن وجود دارد ، به اندازه كافی به آن خط نزدیك شد یا نقطه ای از تابع روی آن وجود دارد كه در هرد و صورت تابع برای نقاط روی آن خط چگال است..

حال همانطور كه دیدیم تابع روی دوخط متمایز گذرا از مبدا نقطه هایی دارد . می دانیم كه بردار هر خط در صفحه را می توان با تركیب خطی این دو به دست آورد.
این دو بردار را این گونه در نظر بگیرید: (1,f(1)) و (q,f(q)) .تمام تركیبهای خطی با ضریب گویا
برای این دو بردار باز هم نقاطی از تابع هستند: (cq+d,f(cq+d)) .حال یك خط با بردار (r,s) در نظر بگیرید.می دانیم كه می توان ضرایب c,d را طوری پیدا كرد كه بردار
cq+d,cf(q)+df(1))= (r,s) باشد اما لزومی ندارد كه ضرایب گویا باشد.اگر ضرایب گویا باشد كه روی خط با بردار (r,s) حتما نقطه ای از تابع وجود دارد وبه علت وجود مضارب گویای تابع روی آن خط پس تابع روی آن خط چگال است.ما اگر ضرایب گنگ باشند چون اعداد گویا در اعداد حقیقی چگال هستند پس می توان همواره طوری ضرایب را انتخاب كرد.كه به اندازه كافی به آن اعداد گنگ نزدیك باشد پس می توان برداری دیگر پیدا كرد كه روی خطی با آن بردار، نقطه ای از تابع باشد.و به اندازه كافی به خط با بردار (r,s) نزدیك باشد.پس با توجه به آنچه گفته شد تابع چگال خواهد بود.

در اثبات بالا روند اثبات به این فرم بود كه تابع كوشی ناپیوسته حداقل در دو راستای مختلف می بایست مقدار داشته باشد.تركیب خطی ضرایب گویای این دو راستا به علت چگال بودن اعداد گویا در اعداد حقیقی باعث می شد در همسایگی هر نقطه در صفحه نقطه ای از تابع موجود باشد. و این یعنی چگال بودن تابع.