پرسش

بزرگترین مقدار یك زاویه
دایره ای در مركز ا و نقطه آ درون آن موجود است نقطه ای مانند ام روی دایره پیدا كنید كه زاویه آ ام ا بزرگترین مقدار را داشته باشد
با تشكر

پاسخ

یك روش كه در اغلب موارد جواب می دهد استفاده از راه حل جبری است كه گاهی بسیار طولانی است اما در این مسئله راحت است:
در مسئله فوق در مثلث با رئوس Aو Mو I طول دو ضلع برای ما معلوم است كه یكی فاصله نقطه A تا مركز دایره و دیگری شعاع دایره است.
در مثلث AMI برای زاویهM و سه ضلع قضیه كسینوس ها را می نویسیم:
m^2=a^2+i^2-2ai COS M
اگر زاویه مطلوب ما حداكثر گردد باید كسینوس آن حداقل گردد زیرا كسینوس تابع نزولی است.پس كسینوس را بر حسب تابعی از ضلع سوم و مجهول می نویسیم و با استفاده از صفر شذن مشتق طول ضلع سوم را می یابیم .
COS M=i^2/2ai+ a^2-m^2/2ai
COS M `=0 => i^2=a^2-m^2
پس مثلث AMI باید یك مثلث قائم الزاویه باشد.یعنی برای پیدا كردن نقطه مطلوب باید بر دایره با مركز I و شعاع AI مماس رسم كرد و مماس را با دایره اصلی قطع داد
از لحاظ هندسی نیز این جواب را می توان به دست آورد زیرا یك دایره از یك نقطه
وقتی با زاویه حد اكثر دیده میشود كه اضلاع آن زاویه مماس بر دایره باشد.