تعداد مطالب : 1

تعداد نظرات : 1

زمان آخرین مطلب : 6461روز قبل

آموزش و تحقيقات

درباره ی اعداد اول در بین اعداد طبیعی بزرگتر از یك یعنی ...و 4و3و2 اعدادی وجود دارند كه تنها بر یك و خود بخش پذیرند، این اعداد را اعداد اول می نامند. اعداد اول مبنایی برای همه ی عددهای طبیعی است ، به این معنی كه هر عدد طبیعی به صورت حاصل ضرب توانی از اعداد اولی است كه مقسوم علیه های این عددند. به عنوان مثال . نخستین هفت عدد اول متمایز عبارتند از: 2و3و7و11و13و17. اینك این سؤال پیش می آید كه آیا این رشته از اعداد مختوم است یا اینكه تا بی شمار ادامه دارد. به عبارت دیگر آیا بزرگترین عدد اول وجود دارد یا نه. جواب این است كه بزرگترین عدد اول وجود ندارد. این موضوع از عصر طلائی یونانیان مكشوف بوده و توسط اقلیدس در سه قرن قبل از میلاد به اثبات رسیده است. استدلال وی بی اندازه ساده و مبرهن است و هنوز هم تازگی خود را حفظ كرده. پس از اثبات نامتناهی بودن مجموعه ی اعداد اول سؤالاتی دیگر در مورد این اعداد مطرح می شود، كه به بعضی از آنها پاسخ داده شده ، ولی برخی هم همچنان بی جواب باقی مانده اند. در این جا چند نمونه از این سؤالات مورد بررسی قرار می گیرند، و ضمناً برهان اقلیدس نیز ارائه خواهد گردید. معلوم نیست كه مفهوم اول برای اولین بار در چه زمانی طرح شده است و چه مدتی سپری گشته تا از مطالعه در خواص اولیه چنین اعدادی به نامتناهی بودن آن پی برده شود. شاید پس از نخستین ملاحظات تجربی و نیز مطالعه ی عملی در خواص اعدادی چون 2و3و11و17 این سؤال طبعاً پیش آمده است. برهان ذیل، برای اثبات نامتناهی بودن رشته ی اعداد اول هنوز هم از ساده ترین برهان ها در این زمینه است. فرض كنیم كه چنین نباشد در این صورت ، عدد اولی مانند p وجود دارد كه از هر عدد اول دیگر بزرگتر است. اینك را در نظر می گیریم این عدد بر هیچ یك از اعداد ( )بخشپذیر نیست . چون m یك عامل اول دارد و این عامل در بین اعداد ( )نیست پس عامل اولی به غیر از اعداد یاد شده دارد و این با فرض ما در تناقض است. این نتیجه ی ظریف و زیبای اقلیدسی ، كه ضمناً برهانش هم بسیار ساده است ، یكی از اولین نمونه ی برهانهای مشهود ریاضی است كه به طریقه ی برهان خلف صورت گرفته است. پس ازبررسی این حكم سؤالات تازه ای مطرح می شود، و پاسخ به این سؤالات منجر به نتایج و ملاحظات دیگری می گردد. به عنوان مثال ، با بكار بردن مفهوم « فاكتوریل» می توان متقاعد شد كه همواره یك رشته ی بقدر كافی طولانی از اعداد طبیعی متوالی كه اول نباشد وجود دارد. در واقع به ازای هر n مفروض می توان n عدد متوالی ، با در نظر گرفتن اعداد طبیعی : n!+2,n!+3,n!+4,…,n!+n به دست آورد؛ این اعداد جملگی مركب اند (غیر اول). زیرا اولی بر 2 ودومی 3 و سومی 4 و n امی برn بخش پذیر است. هر گاه موضوع را بیشتر تعقیب كنیم، به شگفتی این اعداد و خصیصه ی مسائل مربوط به آن پی خواهیم برد، به تدریج مسائل جدید مطرح می شوند و این مسائل ، مسائل جدید دیگری را پیش می آورند كه عموماً پاسخ به بعضی از آنها چندان هم ساده نیست. از بین مسائل معروف اعداد اول ، مقدماتی ترین آنها مسئله ذیل است: در مورد اعداد طبیعی زوج به امتحان ملاحظه شده است كه قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. « كریستیان گلدباخ» ریاضیدان آلمانی حالت كلی را حدس زد. یعنی به حدس اظهار داشت كه هر عدد طبیعی زوج بزرگتر از 2 قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. ( این موضوع در گلچین ریاضی هم آمده) تا عصر حاضر این حدس به یقین مبدل نشده است و ریاضیدانان موفق به اقامه ی برهان برای آن نشده اند. صحت این حكم برای اعداد طبیعی زوج كوچكتر از 10⁸محقق شده است. ( تا سال 1968)با بكار بردن ماشینهای الكتریكی محاسبه ، می توان آمارهایی فراهم آورد برای نشان دادن اینكه به چند طریق می توان یك عدد زوج مانند 2n به صورت حاصل جمع دو عدد اول نوشت ، عده ی طرق با بزرگ شدن n بزرگ می شوند. در حال حاضر ریاضیدانان روسی « ایوان ماتویویچ ویورگرادوف» ثابت كرده است كه هر عدد طبیعی فرد بقدر كافی بزرگ ، قابل نمایش به صورت حاصل جمع سه عدد اول است. فرمولی كه بوسیله آن بتوان هر عدد اول بقدر كافی بزرگ را به دست آورد، وجود ندارد. البته عبارت هایی در دست است كه از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین كرد. به عنوان مثال فرمول اویلر در دست است كه از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین كرد. به عنوان مثال فرمول اویلر به ازای اعداد اول متمایزی به دست می دهد . همچنین معلوم نیست كه تعدادی نامتناهی از اعداد اول دوقلو ، یعنی اعداد اولی كه تفاضل آنها 2 باشد مانند 5و7 ، 11و13، 29و31 و غیره وجود دارد یا نه. اینها نمونه هایی هستند از مسائلی ساده در اعداد اول كه بطور طبیعی مطرح می شوند و اگر چه صورت ظاهری آنها ساده به نظر می رسد، اثبات آنها غالباً دشوار است و این امكان وجود دارد كه با معلومات ریاضی عصر ما ثابت نگردند. اما در مورد حكمی كه اخیراً ذكر شد، اطلاعاتی در دست است. به عنوان مثال، معلوم گشته كه رشته ی اعداد اول به صورت 4k+1 و4k+3 نامتناهی است. به طور كلی ثابت شده كه در تصاعد حسابی ak+b،كه در این a وb نسبت به هم اولند و k=1,2,3,… یك تعداد نامتناهی عدد اول وجود دارد.

* لئوپولد كرونكر ریاضیدان آلمانی اظهار داشته است كه خداوند اعداد صحیح را آفرید و بشر باقی ریاضیات را. *

سه شنبه 14/8/1387 - 15:11

[ نظر به این مطلب ] - [ نظرات این مطلب : 1 ]

مورد توجه ترین های هفته اخیر

لینک ها

فعالترین ها در ماه گذشته

(0)فعالان 24 ساعت گذشته

مرور بخشها

دین

زندگی

جامعه

فرهنگ

دین

زندگی

جامعه

فرهنگ

* لئوپولد كرونكر ریاضیدان آلمانی اظهار داشته است كه خداوند اعداد صحیح را آفرید و بشر باقی ریاضیات را. *

تبیان، دستیار زندگی

در حال بار گزاری ....

همه

متن

فیلم

صدا

تصویر

دانلود

مرور بخشها دین زندگی جامعه فرهنگ

دین

زندگی

جامعه

فرهنگ

* لئوپولد كرونكر ریاضیدان آلمانی اظهار داشته است كه خداوند اعداد صحیح را آفرید و بشر باقی ریاضیات را. *

مرور بخشها

دین

زندگی

جامعه

فرهنگ